Analyse d'un réseau par différentes méthodes.

On considère le réseau en régime permanent, représenté ci-dessous :

Déterminer l'intensité I du courant circulant dans la résistance R et cela par les méthodes d'analyse suivantes :
1.  Lois de Kirchhoff
2.  Théorème de Millman.
3.  Théorème de Thévenin.

On veillera à écrire l'expression littérale finale sous une forme la plus simple et la plus symétrique possible et en rangeant les termes par indice croissant.

* Correction :

1. Lois de Kirchhoff.

Le circuit est composé de 5 branches ( on ne considère pas celle à droite de M) et de 3 noeuds (A,B,M). On a donc 3 inconnues : I, I1 et I2. Trois équations de maille sont nécessaires pour résoudre l'exercice.

• Maille 1.
  
• Maille 2.
  
• Maille 3.
   

En injectant (1) et (2) dans (3), on trouve :

2. Utilisation du théorème de Millman.

On pose le potentiel du point M nul.

• en A :
   
   
  car UBA = -RI
• en B :
  de la même manière on trouve que :
   

De ces deux dernières expressions on tire celles de VA et VB :

Comme UAB =VA - VB = RI , il reste à exprimer cette différence et ensuite à en tirer l'expression de I.

3. Théorème de Thévenin.

On éteint les sources et on enlève la résistance R.

La résistance équivalente au réseau passif obtenu est :

.

Soit (UAB)o = Eéq. Pour déterminer cette grandeur on utilise la notion de pont diviseur de tension :

On a donc l'équivalence :

La loi de Pouillet permet d'écrire que :

Cette dernière expression peut se mettre sous la gorme du résultat (4) de la question 1.