Résistances équivalentes.

On considère un réseau électrique de forme cubique qui peut être alimenté de trois manières : entre A et B, entre A et C, entre A et D.

Déterminer dans chaque cas la résistance équivalente de ce réseau sachant que la résistance d'un côté est r.

* Correction :

1. Alimentation suivant AB.

Lorsque le réseau est alimenté entre les points A et B, AB est un axe de symétrie pour les potentiels.

En A le courant principal se scinde en trois fois i et en B arrive alors trois fois i.
Lorsque i arrive en F il se divise en deux parties égales car le chemin pour rallier B est identique du fait que les points E et H sont au même potentiel. La répartition des différents courants dans le cube est alors la suivante :

En suivant le chemin AFEB :

La résistance équivalente du réseau est :

2. Alimentation suivant AC.

Lorsque le réseau est alimenté suivant AC, le plan AFBC est un plan de symétrie des potentiels et le plan GDHE un plan de symétrie entrée-sortie pour la distribution de courants.

Le courant principal se scinde en i dans les branches AD et AG et j dans la branche AF. En F le chemin pour aller  au point B est le même car les points E et H sont au même potentiel. En F le courant j se devise en deux parties égales. Comme EHDG est un plan de symétrie entrée-sortie les branches EB et BC sont elles aussi parcourues par un courant j/2. Il s'en suit que les branches EG et DH ne sont parcourues par aucun courant, ce qui revient à dire que le réseau est ouvert entre E et G, et entre D et H.

Pour finir, la branche BC est parcourue par j et les branches GC et DC par i.

On peut donc simplifier le réseau selon la figure suivante :

La résistance équivalente est telle que:

Or :

D'où :

3. Alimentation suivant AD.

Lorsque l'alimentation s'effectue entre les points A et D, le plan AEBD est un plan de symétrie des potentiels. D'autre part le plan passant par les milieux des segments AD et GC est un plan de symétrie entrée-sortie pour la distribution de courants.

Comme les points F et G  sont au même potentiel les branches AF et AG sont parcourues par le même courant i.

La branche AD est parcourue par un courant j tel que I = 2i +j.

Comme la d.d.p entre les points FE et GE est la même, les branches FE et GE sont parcourues par des courants de même intensité k. La branche FH est elle parcourue par un courant i - k et la branche EB par un courant 2k. On obtient la distribution de courant suivante :

Nous avons :

Sur le chemin AFHD :

En considérant la maille FEBHF :

On obtient finalement :

Remarque : Il est possible d'utiliser le fait que les points F et G d'une part, H et C d'autre part, sont au même potentiel pour les relier entre eux afin de simplifier le réseau.